Lineare Algebra ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Vektorraum ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik. Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen der linearen Algebra u.a. in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (Optimierung).

Der Ursprung der linearen Algebra findet sich in systematischen Betrachtungen von Vektoren im 2- und 3-dimensionalen (euklidischen) Raum, auch "Anschauungsraum" genannt. Hier entspricht einem Vektor eine Strecke einer bestimmten Länge (der Betrag des Vektors) sowie eine der zwei möglichen Richtungen. Vektoren dieser Art lassen sich nutzen, um physikalische Größen (etwa Kräfte) anschaulich darzustellen. Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl sowie das Addieren von Vektoren bilden die Rechenoperationen in einem aus Vektoren gebildeten Vektorraum.

Die Verallgemeinerung zu mehrdimensionalen (abstrakten) Vektorräumen, obwohl unanschaulich, ist wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra. Hier werden der mathematische Ring aller linearen Abbildungen, die als Matrizen darstellbar sind, wichtige Hilfsmittel. Ein Vektorraum ist nur dann vollständig charakterisiert, wenn der Zahlenkörper, über dem der Vektorraum definiert ist, angegeben ist. Typische Zahlenkörper sind die reellen oder komplexen Zahlen.

Wichtige Begriffe der Linearen Algebra, die besser unter Vektorraum beschrieben werden, sind die Basis eines Vektorraums, die Eigenschaften linearer Abbildungen und von Determinanten sowie das Skalarprodukt.

Beispiele wichtiger Vektorräume sind der Banachraum und der Hilbertraum.